p是三角形内任意一点,求证pa pb pc最小值,p是等边三角形内的一点求面积

如图所示：P是正三角形ABC内一点，过P分别作三边的垂线PE、PF、PG，垂足分别是E、F、G，若△ABC的面积是16，求绿色部分的面积。

分析：如果P是内心，显然绿色部分的面积是正三角形面积的1/2。

当P是任意点时，猜测涂色部分面积的面积和占比不变。

证明也不难。

过点P分别作三角形三边的平行线IJ、ＭＮ、ST，如图所示。

可知△PMT为正三角形（由平行关系，易知三个角均为60°），

因为PG⊥MT，所以S△PMG=S△PGT；

可知BMPI是平行四边形，所以S△PBM=S△PBI；

故涂色部分△PBG的面积是梯形BMPI的1/2。

同理可证△PAE的面积是梯形AIPN的1/2，

△PFC的面积是梯形CNPT的1/2。

而三个梯形的面积和正好是正三角形ABC的面积，

因此涂色部分的面积是正三角形ABC面积的1/2=8。